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18.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,以頂點A為球心,2為半徑作一個球,則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和(^GF+^EF)等于\frac{5π}{6}

分析 球面與正方體的六個面都相交,所得的交線分為兩類:一類在頂點A所在的三個面上,即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上;另一類在不過頂點A的三個面上,即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上.由空間幾何知識能求出這兩段弧的長度之和.

解答 解:如圖,球面與正方體的六個面都相交,
所得的交線分為兩類:一類在頂點A所在的三個面上,即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上;
另一類在不過頂點A的三個面上,即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上.
在面AA1B1B上,交線為弧EF且在過球心A的大圓上,因為AE=2,AA1=\sqrt{3},
則∠A1AE=\frac{π}{6}.同理∠BAF=\frac{π}{6},所以∠EAF=\frac{π}{6},
故弧EF的長為:2×\frac{π}{6}=\frac{π}{3}
而這樣的弧共有三條.
在面BB1C1C上,交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上,
此時,小圓的圓心為B,半徑為1,∠FBG=\frac{π}{2},
所以弧FG的長為:1×\frac{π}{2}=\frac{π}{2}
于是,所得的曲線長為\widehat{GF}+\widehat{EF}=\frac{π}{3}+\frac{π}{2}=\frac{5π}{6}
故答案為:\frac{5π}{6}

點評 本題考查空間幾何的性質和綜合應用,解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉化.

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