Question

7．在某校開展的“陽(yáng)光體育”系列活動(dòng)中，甲、乙兩班之間進(jìn)行了一次200米跑的團(tuán)體比賽．每個(gè)班各派出5名同學(xué)比賽，講每名同學(xué)的200米成績(jī)記錄以后（單位：秒，且已知每個(gè)成績(jī)都是整數(shù)），總用時(shí)少的班級(jí)獲勝，
成績(jī)記錄如表所示：

隊(duì)員編號(hào)	1	2	3	4	5
甲班成績(jī)	31	34	33	29	28
乙班成績(jī)	27	31	30	X	31

表格中的x∈[30，40）
（1）若x=36，從甲班的5名同學(xué)中任取3名，記這3人中用時(shí)少于乙隊(duì)平均用時(shí)的人數(shù)為隨機(jī)變量η，求η的分布列；
（2）若最終乙班獲勝，那么當(dāng)乙班同學(xué)的成績(jī)方差最大時(shí)，x的取值是多少（直接寫出結(jié)果，不用證明）？

Answer 1

分析 （1）先求出乙隊(duì)平均用時(shí)，從而得到隨機(jī)變量η可取0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出η的分布列．
（2）利用離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，能求出當(dāng)乙班同學(xué)的成績(jī)方差最大時(shí)，x的取值．

解答 解：（1）乙隊(duì)平均用時(shí)為：$\frac{27+31+30+36+31}{5}$=31，
則隨機(jī)變量η可取0，1，2，
P（η=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
P（η=1）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（η=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
則η的分布列為：

η	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

（2）35．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、方差的性質(zhì)的求法及應(yīng)用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．