Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝2，anan+1＝2(Sn＋1) ()．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列{bn}滿足b1＝1，(，)，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn；

（3）若數(shù)列{cn}滿足，(，)，試問(wèn)是否存在正整數(shù)p，q（其中1 < p < q），使c1，cp，cq成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組(p，q)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）由anan+1＝2(Sn＋1)，可得an+1an+2＝2(Sn+1＋1)，兩式相減可得an+2an＝2，討論奇偶可得；（2），，利用裂項(xiàng)相消法可得結(jié)果；（3）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)對(duì)(p，q)，使c1，cp，cq成等比數(shù)列，可得合題意，再證明p3時(shí)不合題意即可.

試題解析：（1）由題意anan+1＝2(Sn＋1)， ①

an+1an+2＝2(Sn+1＋1)， ②

由①②得到：an+1(an+2an)＝2an+1， ③

因?yàn)?/span>an+1>0，則an+2an＝2， ④

又a1＝2，由④可知；a2＝3，由④可知；

因此，．

（2）當(dāng)n=1時(shí)

當(dāng)時(shí)，

＝＝

＝＝；

則＝．

（3）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)對(duì)(p，q)，使c1，cp，cq成等比數(shù)列，即c1cq＝cp2，

則lgc1＋lgcq＝2 lgc p成等差數(shù)列，于是，(＊)．

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，；

可知(p，q)=(2，3) 恰為方程(＊)的一組解．

又當(dāng)p3時(shí)，<0，故數(shù)列{}(p≥3)為遞減數(shù)列．

于是=≤<0，所以此時(shí)方程(＊)無(wú)正整數(shù)解．

綜上，存在惟一正整數(shù)數(shù)對(duì)(p，q)=(2，3)，使c1，cp，cq成等比數(shù)列．

【方法點(diǎn)晴】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握一些常見的裂項(xiàng)技巧：①；②

；③；

④；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.