分析 (Ⅰ)設(shè)切線的斜率為k,利用導(dǎo)數(shù)求解切線斜率,然后求解切線方程.
(Ⅱ)要證:f(x)≥x-1,需證明:g(x)=xlnx-x+1≥0在(0,+∞)恒成立,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值,證明即可.
(Ⅲ)要使:$xlnx≥a{x^2}+\frac{2}{a}$在區(qū)間在(0,+∞)恒成立,等價(jià)于:$h(x)=lnx-ax-\frac{2}{ax}≥0$在(0,+∞)恒成立,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過①當(dāng)a>0時(shí),利用h(1)<0,說明a>0不滿足題意.②當(dāng)a<0時(shí),利用導(dǎo)數(shù)以及單調(diào)性函數(shù)的最小值,求解即可.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)切線的斜率為k,f′(x)=lnx+1,k=f′(1)=ln1+1=1
因?yàn)閒(1)=1•ln1=0,切點(diǎn)為(1,0).
切線方程為y-0=1•(x-1),化簡得:y=x-1.----------------------------(4分)
(Ⅱ)要證:f(x)≥x-1
只需證明:g(x)=xlnx-x+1≥0在(0,+∞)恒成立,g′(x)=lnx+1-1=lnx
當(dāng)x∈(0,1)時(shí)f′(x)<0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x=1時(shí)g(x)min=g(1)=1•ln1-1+1=0g(x)=xlnx-x+1≥0在(0,+∞)恒成立
所以f(x)≥x-1.-----------------------------------------(10分)
(Ⅲ)要使:$xlnx≥a{x^2}+\frac{2}{a}$在區(qū)間在(0,+∞)恒成立,
等價(jià)于:$lnx≥ax+\frac{2}{ax}$在(0,+∞)恒成立,
等價(jià)于:$h(x)=lnx-ax-\frac{2}{ax}≥0$在(0,+∞)恒成立
因?yàn)?h′(x)=\frac{1}{x}-a+\frac{2}{{a{x^2}}}$=$\frac{{-{a^2}{x^2}+ax+2}}{{a{x^2}}}$=$\frac{{-{a^2}(x+\frac{1}{a})(x-\frac{2}{a})}}{{a{x^2}}}$
①當(dāng)a>0時(shí),$h(1)=ln1-a-\frac{2}{a}<0$,a>0不滿足題意
②當(dāng)a<0時(shí),令h′(x)=0,則$x=-\frac{1}{a}$或$x=\frac{2}{a}$(舍).
所以$x∈(0,-\frac{1}{a})$時(shí)h′(x)<0,h(x)在$(0,-\frac{1}{a})$上單調(diào)遞減;$x∈(-\frac{1}{a},+∞)$時(shí),
h′(x)>0,h(x)在$(-\frac{1}{a},+∞)$上單調(diào)遞增;
當(dāng)$x=-\frac{1}{a}$時(shí)$h{(x)_{min}}=h(-\frac{1}{a})=ln(-\frac{1}{a})+1+2$
當(dāng)$ln(-\frac{1}{a})+3≥0$時(shí),滿足題意
所以-e3≤a<0,得到a的最小值為-e3--------------------------(14分)
點(diǎn)評 本題考查切線方程的求法,函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.
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