Question

已知函數(shù)f（x）=（1+3x）（2x-

1

x2

）ⁿ（n∈N^*）的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，且4＜n＜8，求展開式中含x⁵的系數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：由題意可得（2x-

1

x2

）ⁿ的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，且沒有x^-1項(xiàng)．根據(jù)（2x-

1

x2

）ⁿ的展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合4＜n＜8可得n=7，可得函數(shù)f（x）的展開式，從而求得展開式的含x⁵的系數(shù)．

解答： 解：函數(shù)f（x）=（1+3x）（2x-

1

x2

）ⁿ（n∈N^*）的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，
可得（2x-

1

x2

）ⁿ的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，且沒有x^-1項(xiàng)．
而（2x-

1

x2

）ⁿ的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r n

•（-1）^r•2^n-r•x^n-3r，故n-3r=0無解，且n-3r=-1無解，
結(jié)合4＜n＜8可得，n=7，
故函數(shù)f（x）=（1+3x）（2x-

1

x2

）⁷=（1+3x）（ 2⁷•x⁷-

C

1 7

•2⁶•x⁴+

C

2 7

•2⁵•x-

C

3 7

•2⁴•x^-2+…），
故展開式中含x⁵的系數(shù)為-3×7×64=-1344．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，突出考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．