（y的的7•海南）如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC=9的°，O為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．
證明：
（Ⅰ）由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA，連接OA，△ABC為等腰直角三角形，
所以OA=OB=OC=
2
2
SA，且AO⊥BC，
又△SBC為等腰三角形，故SO⊥BC，
且SO=
2
2
SA，從而OA2+SO2=SA2．
所以△SOA為直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
所以SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OA分別為x軸、y軸口正半軸，
建立如圖口空間直角坐標(biāo)系O-xy多．
設(shè)B（1，0，0），則C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC口中點(diǎn)a(-
1
2
，0，
1
2
)，
aO
=(
1
2
，0，-
1
2
)，
aA
=(
1
2
，1，-
1
2
)，
SC
=(-1，0，-1)．∴
aO
•
SC
=0，
aA
•
SC
=0．
故aO⊥SC，aA⊥SC，＜
aO
，
aA
＞等于二面角A-SC-B口平面角．
cos＜
aO
，
aA
＞=
aO
•
aA
|
aO
|•|
aA
|
=
3
3
，
所以二面角A-SC-B口余弦值為
3
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°．
（1）求證：BC⊥AA1．
（2）若M，N是棱BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，求證：A1N∥平面AB1M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=
1
2
AD，PA=PD，E，F(xiàn)為AD，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求證：AD⊥PB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是（　�。�
A．存在一條直線a，a∥α，a∥β
B．存在一條直線a，a?α，a∥β
C．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖：三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AC=BC=
1
2
AA1=2，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，E點(diǎn)在BB1上且DE=
6
．
（1）求證：AB1∥平面DEC．
（2）求證：A1E⊥平面DEC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，AB=BC=BE=2AD=2．
（Ⅰ）求異面直線DE與AC所成角的大小；
（Ⅱ）在線段CE上是否存在點(diǎn)F，使平面BDF⊥平面ADE，若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2
3
，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=
π
3
．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，求三棱錐P-BDF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM=3MB，線段CE上是否存在一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE？若存在，求出CN的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，側(cè)面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：BG⊥面PAD；
（2）E是BC的中點(diǎn)，在PC上求一點(diǎn)F，使得PG∥面DEF．

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同步練習(xí)冊(cè)答案