已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點處的切線與x軸平行.

(Ⅰ)求k的值；

(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)設(shè)，其中為的導函數(shù).證明：對任意.

 

【答案】

(I) .(II)見解析

【解析】(I)，

由已知，，∴.

(II)由(I)知，.

設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，

由知，當時，從而，

當時，從而.

綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

(III)由(II)可知，當時，≤0＜1+，故只需證明在時成立.

當時，＞1，且，∴.

設(shè)，，則，

當時，，當時，，

所以當時，取得最大值.

所以.

綜上，對任意，

 

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（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=xf'（x），其中f'（x）為f（x）的導函數(shù)．證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e-2．

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