Question

17．已知F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個焦點，若在雙曲線上存在點P，使得∠F₁PF₂=90°，且滿足2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，那么雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 首先根據(jù)∠F₁PF₂=90°，且滿足2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，確定三角形的各角的大小，進一步確定各邊長，從而確定雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂=60°
∵|F₁F₂|=2c 
∴|PF₂|=c，|PF₂|=$\sqrt{3}$c，
∴2a=$\sqrt{3}$c-c
∴e=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案為：$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查的知識點：雙曲線定義的應用，雙曲線的離心率．