Question

7．已知U=R，關(guān)于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集是$\left\{{x\left|{x≠-\frac{1}{a}，x∈R}\right.}\right\}$，且a＞b，則$t=\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$，實數(shù)t的取值集合為A．集合B={m||x+1|-|x-3|≤m²-3m，x∈R恒成立}，則A∩（∁_UB）=$[{2\sqrt{2}，4}）$．

Answer 1

分析 據(jù)基本不等式求以及不等式恒成立求出集合A，B的等價條件，然后根據(jù)集合的基本運算進行求解即可．

解答 解：∵關(guān)于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集是$\left\{{x\left|{x≠-\frac{1}{a}，x∈R}\right.}\right\}$，
∴a＞0，且對稱軸-$\frac{2}{2a}$=$-\frac{1}{a}$，
則判別式△=4-4ab=0，即ab=1，
則$t=\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$=$\frac{（a-b）^{2}+2ab}{a-b}$=a-b+$\frac{2}{a-b}$，
∵a＞b，∴a-b＞0，
則t=a-b+$\frac{2}{a-b}$≥2$\sqrt{（a-b）•\frac{2}{a-b}}$=2$\sqrt{2}$，
即A=[2$\sqrt{2}$，+∞），
∵|x+1|-|x-3|≤|3-（-1）|=4，
∴若|x+1|-|x-3|≤m²-3m，x∈R恒成立，
則m²-3m≥4，即m²-3m-4≥0，
即m≥4或m≤-1，
即B={m|m≥4或m≤-1}，
則∁_UB═{m|-1＜m＜4}，
則A∩（∁_UB）={m|2$\sqrt{2}$≤m＜4}，
故答案為：$[{2\sqrt{2}，4}）$

點評 本題主要考查集合的基本運算，根據(jù)基本不等式以及不等式恒成立求出集合A，B的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．