Question

已知過點(diǎn)M（-3，-3）的直線l被圓C：x²+y²+4y-21=0所截得的弦長為4

5

．
（1）指出⊙C的圓心C的坐標(biāo)和半徑r，判斷點(diǎn)M與⊙C的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程得x²+（y+2）²=25，即可得到圓心C的坐標(biāo)和半徑r，進(jìn)而可得點(diǎn)M與⊙C的位置關(guān)系；
（2）根據(jù)垂徑定理得圓心到弦的距離d=

5

，設(shè)直線l方程為y+3=k（x+3），利用點(diǎn)到直線的距離公式列式解出k的值，即可得到所求直線l的方程．

解答：解：（1）圓C：x²+y²+4y-21=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y+2）²=25
∴⊙C的圓心C的坐標(biāo)為（0，-2），半徑r=5
∵點(diǎn)M（-3，-3）滿足（-3）²+（-3+2）²＜25
∴點(diǎn)M在⊙C的內(nèi)部；
（2）設(shè)直線l方程為y+3=k（x+3），化簡得kx-y-3+3k=0
∵圓心坐標(biāo)為（0，-2），半徑為r=5，
直線l被圓x²+y²+4y-21=0所截得的弦長為4

5

，
∴根據(jù)垂徑定理，得圓心到弦的距離d=

r2-(2 5 )2

=

5

即得

|2-3+3k|

k2+1

=

r2-(2 5 )2

=

5

，解得k=2或k=-

1

2

，
所以直線l的方程為y+3=2（x+3）或y+3=-

1

2

（x+3），即2x-y+3=0或x+2y+9=0．

點(diǎn)評：本題給出圓的方程和點(diǎn)M坐標(biāo)，求經(jīng)過點(diǎn)M被圓截得弦長為定值的直線l方程．著重考查了點(diǎn)到直線的距離公式、直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．