【題目】對(duì)于正整數(shù)集合,),如果去掉其中任意一個(gè)元素)之后,剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合,且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等,就稱集合和諧集”.

(1)判斷集合是否為和諧集,并說(shuō)明理由;

(2)求證:集合和諧集;

(3)求證:若集合和諧集,則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù).

【答案】(1)不是;理由見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù)集合中這5個(gè)數(shù)字的特征,可以去掉2即可判斷出集合不是和諧集

(2)集合去掉任意一個(gè)元素進(jìn)行分類討論,找到符合題意的兩個(gè)集合即可證明集合和諧集;

(3)判斷任意一個(gè)元素)的奇偶性相同,分類討論,可以證明出若集合和諧集,則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù).

(1)當(dāng)集合去掉元素2時(shí),剩下元素組成兩個(gè)集合的交集為空集有以下幾種情況:

,經(jīng)過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)每給兩個(gè)集合的所有元素之和不相等,故集合不是和諧集;

(2)集合所有元素之和為49.

當(dāng)去掉元素1時(shí),剩下的元素之和為48,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意;

當(dāng)去掉元素3時(shí),剩下的元素之和為46,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意;

當(dāng)去掉元素5時(shí),剩下的元素之和為44,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意;

當(dāng)去掉元素7時(shí),剩下的元素之和為42,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意;

當(dāng)去掉元素9時(shí),剩下的元素之和為40,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意;

當(dāng)去掉元素11時(shí),剩下的元素之和為38,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意;

當(dāng)去掉元素13時(shí),剩下的元素之和為36,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意;

(3)設(shè)正整數(shù)集合)所有元素之和為,由題意可知

均為偶數(shù),因此任意一個(gè)元素)的奇偶性相同.

是奇數(shù),所以)也都是奇數(shù),由于,顯然為奇數(shù);

是偶數(shù), 所以)也都是偶數(shù).此時(shí)設(shè))顯然也是和諧集”,重復(fù)上述操作有限次,便可以使得各項(xiàng)都為奇數(shù)的和諧集”,此時(shí)各項(xiàng)的和也是奇數(shù),集合中元素的個(gè)數(shù)也是奇數(shù),

綜上所述:若集合和諧集,則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù), .

(1)若曲線的一條切線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求這條切線的方程.

(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2。

求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

證明: .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某高中生調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承^(qū)的50戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成三組,并作出如下頻率分布直方圖:

1)在直方圖的經(jīng)濟(jì)損失分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值,并以經(jīng)濟(jì)損失落入該區(qū)間的頻率作為經(jīng)濟(jì)損失取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如:經(jīng)濟(jì)損失則取,且的概率等于經(jīng)濟(jì)損失落入的頻率),F(xiàn)從當(dāng)?shù)氐木用裰须S機(jī)抽出2戶進(jìn)行捐款援助,設(shè)抽出的2戶的經(jīng)濟(jì)損失的和為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2)臺(tái)風(fēng)后居委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,此高中生調(diào)查的50戶居民捐款情況如下表,在表格空白處填寫正確數(shù)字,并說(shuō)明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)?

經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)4000元

經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)4000元

合計(jì)

捐款超過(guò)500元

30

捐款不超過(guò)500元

6

合計(jì)

附:臨界值表參考公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形, MPD的中點(diǎn),PA⊥平面ABCD,PA=AD= 4, AB = 2.

(1)求證:AM⊥平面MCD;

(2)求直線PC與平面MAC所成角的正弦值.

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【題目】如圖,橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為的、,離心率為;過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn),當(dāng)時(shí), 點(diǎn)在軸上的射影為。連結(jié)并延長(zhǎng)分別交、兩點(diǎn),連接; 的面積分別記為, ,設(shè).

)求橢圓和拋物線的方程;

)求的取值范圍.

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【題目】計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝4臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站,過(guò)去0年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和,單位:億立方米都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不足120的年份有30年,不低于120且不足160的年份有8年,不低于160的年份有2年,將年入流量在以上四段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

(1)求在未來(lái)3年中,至多1年的年入流量不低于120的概率;

(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量的限制,并有如下關(guān)系:

若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為500萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損1500萬(wàn)元,水電站計(jì)劃在該水庫(kù)安裝2臺(tái)或3臺(tái)發(fā)電機(jī),你認(rèn)為應(yīng)安裝2臺(tái)還是3臺(tái)發(fā)電機(jī)?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知某幾何體直觀圖和三視圖如圖所示,其正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.

1)求證: ;

2;

3設(shè)中點(diǎn),在邊上找一點(diǎn),使//平面并求.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在長(zhǎng)方體中, 分別為的中點(diǎn), 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且.

(1)當(dāng)時(shí),求證:平面平面;

(2)是否存在,使得?若存在,請(qǐng)求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在5件產(chǎn)品中,有3件一等品和2件二等品,從中任取2件,以為概率的事件是(  )

A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品

C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品

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