Question

8．已知命題p：方程$\frac{x^2}{m-4}+\frac{y^2}{2m-2}=1$表示焦點在y軸上的雙曲線，命題q：點（m，1）在橢圓$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$的內(nèi)部；命題r：函數(shù)f（m）=log₂（m-a）的定義域；
（1）若p∧q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若p是r的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：方程$\frac{x^2}{m-4}+\frac{y^2}{2m-2}=1$表示焦點在y軸上的雙曲線，則$\left\{\begin{array}{l}{2m-2＞0}\\{m-4＜0}\end{array}\right.$，解得；命題q：點（m，1）在橢圓$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$的內(nèi)部，則$\frac{{m}^{2}}{8}$+$\frac{1}{2}$＜1，解得m；命題r：函數(shù)f（m）=log₂（m-a）的定義域為（a，+∞）．
（1）若p∧q為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜4}\\{-2＜m＜2}\end{array}\right.$，解得m．
（2）p是r的充分不必要條件，可得a≤1．

解答 解：命題p：方程$\frac{x^2}{m-4}+\frac{y^2}{2m-2}=1$表示焦點在y軸上的雙曲線，則$\left\{\begin{array}{l}{2m-2＞0}\\{m-4＜0}\end{array}\right.$，解得1＜m＜4；
命題q：點（m，1）在橢圓$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$的內(nèi)部，則$\frac{{m}^{2}}{8}$+$\frac{1}{2}$＜1，解得：-2＜m＜2；
命題r：函數(shù)f（m）=log₂（m-a）的定義域為（a，+∞）．
（1）若p∧q為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜4}\\{-2＜m＜2}\end{array}\right.$，解得1＜m＜2．
∴實數(shù)m的取值范圍為（1，2）．
（2）∵p是r的充分不必要條件，
∴∴a≤1．
∴實數(shù)a的取值范圍是a≤1．

點評 本題考查了圓錐曲線的標準方程及其性質(zhì)、函數(shù)的定義域、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．