在半徑為R的圓內(nèi)接正六邊形內(nèi),依次連接各邊的中點(diǎn),得一正六邊形,又在這一正六邊形內(nèi),再依次連接各邊的中點(diǎn),又得一正六邊形,這樣無(wú)限地繼續(xù)下去,
求:(1)前n個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)之和Sn
(2)所有這些正六邊形的周長(zhǎng)之和S.
【答案】分析:由題設(shè)條件知表示正六邊形周長(zhǎng)的數(shù)列:6R,,,由此能夠求出前n個(gè)正六邊形周長(zhǎng)的和與所有這些正六邊形周長(zhǎng)的和.
解答:解:如圖,半徑為R的圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為6R,
設(shè)C為AB的中點(diǎn),連接OC,OB,則OC⊥AB.
∴OC=CD=
第二個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)=
同理可得
第三個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)=
第四個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)=,
于是可以得到一個(gè)表示正六邊形周長(zhǎng)的數(shù)列:
6R,,,
①前n個(gè)正六邊形周長(zhǎng)的和==
②所有這些正六邊形周長(zhǎng)的和
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和運(yùn)用,解題時(shí)要注意歸納、總結(jié)能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在半徑為r的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,再作正六邊形的內(nèi)切圓,又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,如此無(wú)限繼續(xù)下去,設(shè)Sn為前n個(gè)圓的面積之和,則
lim
n→∞
Sn=( 。
A、2πr2
B、
8
3
πr2
C、4πr2
D、6πr2

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(1)前n個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)之和Sn
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lim
n→∞
Sn=(  )

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limn→∞
sn=
4πr2
4πr2

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