Question

8．如圖，在多面體ABCDE中，BD⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長為2的等邊三角形，2AE=BD=2．
（1）若是F線段DC的中點(diǎn)，證明：EF⊥面DBC；
（2）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面直線的判定定理以及直線平行的性質(zhì)即可證明EF⊥面DBC；
（2）利用轉(zhuǎn)化法結(jié)合四棱錐的體積公式即可求多面體ABCDE的體積．

解答 證明：（1）∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴取BC的中點(diǎn)H，連接FH，AH，
若是F線段DC的中點(diǎn)，
則FH是△BCD的中位線，
∴FH∥BD，F(xiàn)H=$\frac{1}{2}$BD=1，
∵AE∥DB，∴AE∥FH，
∵2AE=2，∴AE=1，
則AE=FH=1，
則四邊形AEFH是平行四邊形，
則EF∥AH，
∵BD⊥平面ABC，∴FH⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵在正三角形ABC中，AH⊥BC，
∴AH⊥面DBC，
∵EF∥AH，
∴EF⊥面DBC；
（2）取AB的中點(diǎn)O，連接CO，則CO⊥AB，
∵BD⊥平面ABC，BD?平面ABDE，
∴平面ABC⊥平面ABDE，
則CO⊥平面ABDE，
則CO是C到平面ABDE的距離，則CO=$\sqrt{3}$，
則梯形ABDE的面積S=$\frac{AE+BE}{2}×AB$=$\frac{1+2}{2}×2=3$，
則多面體ABCDE的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{ABDE}•CO$=$\frac{1}{3}×3×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查線面垂直的判定以及多面體的體積的計(jì)算，根據(jù)線面垂直的判定定理以及轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．