Question

已知數(shù)列的首項(xiàng)為a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，且對任意的n∈N^*，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n總是3S_n-4與的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（n+1）a_n，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，n∈N^*，求T_n；
（Ⅲ）設(shè)，P_n是數(shù)列{c_n}的前項(xiàng)和，n∈N^*，試證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)，由此能導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)是2，公比是的等比數(shù)列，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由，知T_n=b₁+b₂+…b_n=，利用錯(cuò)位相減法能求出T_n．
（Ⅲ）由=，能夠證明．
解答：（Ⅰ）解：當(dāng)，


∴．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)是2，公比是的等比數(shù)列，
∴=．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），知．
則T_n=b₁+b₂+…b_n=…①
∴…②…（5分）
①-②，得
=
=．
∴．…（8分）
（Ⅲ）證明：∵
=…（12分）
∴
=．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．