Question

定義矩陣方冪運算：設(shè)A是一個n×n的矩陣，定義

A1=A Ak+1=Ak•A(k∈N*)

．若A=

1 1 0 1

，
求（1）A²，A³；
（2）猜測Aⁿ（n∈N^*），并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

（1）A2=

1 1 0 1

)2=

1 2 0 1

…（2分），
A3=

1 3 0 1

…（4分）
（2）證明：猜測An=

1 n 0 1

(n∈N*)…（6分）
1°n=2時，由（1）知顯然成立
2°假設(shè)n=k時，Ak=

1 k 0 1

(k∈N*)成立
則當n=k+1時，有定義得Ak+1=Ak•A=

1 k 0 1

1 1 0 1

=

1 k+1 0 1

∴Ak+1=

1 k+1 0 1

也成立．
由1°、2°可知，對任意n∈N^*，An=

1 n 0 1

均成立．  …（15分）