Question

1．學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有A，B兩種菜可供選擇．調(diào)查表明，凡是在這星期一選A菜的，下星期一會(huì)有20%改選B菜；而選B菜的，下星期一會(huì)有30%改選A菜，用a_n（n∈N^*）表示第n個(gè)星期一選A菜的人數(shù)，如果a₁=428，則a₈的值為301．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得：設(shè){a_n}為第n個(gè)星期一選A的人數(shù)，{b_n}為第n個(gè)星期一選B的人數(shù)，根據(jù)這星期一選B菜的，下星期一會(huì)有$\frac{3}{10}$改選A菜，可得：a_n+1=a_n×$\frac{4}{5}$+（500-a_n）×$\frac{3}{10}$，變形為：a_n+1-300=$\frac{1}{2}$（a_n-300），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：根據(jù)題意可得：設(shè){a_n}為第n個(gè)星期一選A的人數(shù)，{b_n}為第n個(gè)星期一選B的人數(shù)，
根據(jù)這星期一選B菜的，下星期一會(huì)有$\frac{3}{10}$改選A菜，
a_n+1=a_n×$\frac{4}{5}$+（500-a_n）×$\frac{3}{10}$，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+150，
變形為：a_n+1-300=$\frac{1}{2}$（a_n-300），
∵a₁=428，∴a₁-300=128，
∴數(shù)列{a_n-300}是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為128，公比為$\frac{1}{2}$，
可得a₈-300=128×$（\frac{1}{2}）^{7}$=1．∴a₈=301．
故答案為：301．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．