Question

設(shè)F是拋物線G：x²=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．
（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)P作拋物線G的切線，若切點(diǎn)在第一象限，求切線方程；
（Ⅱ）試探究（Ⅰ）中的拋物線G的切線與動(dòng)圓x²+（y-m）²=5，m∈R的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（ I）設(shè)切點(diǎn)（x₀＞0）．
由，知拋物線在Q點(diǎn)處的切線斜率為，故所求切線方程． （2分）
即． （4分）
∵拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F（0，1），點(diǎn)P是F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)
∴P（0，-1）
因?yàn)辄c(diǎn)P（0，-1）在切線上．
所以，
∴，
∵x₀＞0
∴x₀=2． （6分）
∴所求切線方程為y=x-1． （7分）
（Ⅱ） x²+（y-m）²=5，m∈R半徑為，圓心（0，m）到直線x-y-1=0的距離
若或時(shí)，x-y-1=0與圓相離，（9分）
若或時(shí)，x-y-1=0與圓相切，（11分）
若時(shí)，x-y-1=0與圓相交，（13分）
綜上，若或時(shí)（Ⅰ）中拋物線G的切線與動(dòng)圓x²+（y-m）²=5相離，
若或時(shí)（Ⅰ）中的拋物線G的切線與動(dòng)圓x²+（y-m）²=5相切，
若時(shí)（Ⅰ）中的拋物線G的切線與動(dòng)圓x²+（y-m）²=5相交 （14分）
分析：（ I）利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，假設(shè)切線方程，利用切點(diǎn)在切線上，即可求得切線方程；
（Ⅱ）探求圓心到切線的距離與圓的半徑的關(guān)系，從而確定（Ⅰ）中的拋物線G的切線與動(dòng)圓x²+（y-m）²=5，m∈R的位置關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查拋物線的切線，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題時(shí)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)為工具，利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，研究直線與圓的位置關(guān)系．