(2007•淄博三模)在△ABC中,a,b,c是內(nèi)角A,B,C的對邊,且b2=ac,cosB=
34

(1)求cotA+cotC的值;
(2)求sinA:sinB:sinC的比值.
分析:(1)由cosB=
3
4
可得sinB=
7
4
,由b2=ac,結合正弦定理可得sin2B=sinAsinC,而cotA+cotC=
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
sinCcosA+sinAcosC
sinAsinC
=
sin(A+C)
sinAsinC
=
sinB
sinAsinC
=
1
sinB
代入可求
(2)由cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
=
3
4
可得a,c,b之間的關系,而sinA:sinB:sinC=a:b:c可求
解答:解:(1)∵cosB=
3
4
sinB=
7
4

∵b2=ac∴sin2B=sinAsinC
∴cotA+cotC=
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
sinCcosA+sinAcosC
sinAsinC
=
sin(A+C)
sinAsinC
=
sinB
sinAsinC
=
1
sinB
=
4
7
7

(2)cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
=
3
4

∴a=2c,b=
2
c
或a=
1
2
c,b═
2
2
c

∴sinA:sinB:sinC=a:b:c=2:
2
:1
或sinA:sinB:sinC=a:b:c=1:
2
:2
點評:本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應用,實現(xiàn)角邊相互轉(zhuǎn)化,是判斷三角形的形狀常采用的一種方法.
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9
9

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