Question

17．已知△ABC中，M為線段BC上一點，AM=BM，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=2，AC²+3BC²=4，則△ABC的面積最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知數量積求得c，由AC²+3BC²=4結合余弦定理可得$cosA=\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{2^{2}+4}{6b}=\frac{^{2}+2}{3b}$，把三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}bc•sinA$轉化為含有b的代數式，然后利用配方法求得最大值．

解答 解：如圖，M為線段BC上一點，且AM=BM，
由$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=2，得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=$|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{AB}|cos∠MAB=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=2$，
∴$|\overrightarrow{AB}|=c=2$，
∵AC²+3BC²=4，即b²+3a²=4，
∴${a}^{2}=\frac{4-^{2}}{3}$，
$cosA=\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{2^{2}+4}{6b}=\frac{^{2}+2}{3b}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bc•sinA=b•\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$b•\sqrt{1-\frac{^{4}+4^{2}+4}{9^{2}}}$
=b•$\sqrt{\frac{-^{4}+5^{2}-4}{9^{2}}}=\frac{\sqrt{-^{4}+5^{2}-4}}{3}$=$\frac{\sqrt{-（^{2}-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}}{3}≤\frac{1}{2}$．
當且僅當$^{2}=\frac{5}{2}$時上式等號成立．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了正弦定理和余弦定理在求解三角形中的應用，是中檔題．