Question

設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(0＜a＜b)的半焦距為c，已知直線l過（a，0），（0，b）兩點，且原點O到直線l的距離為

3

4

c，求此雙曲線的離心率．

Answer 1

分析：先求出直線l的方程，利用原點到直線l的距離為

3

4

c，及又c²=a²+b²，求出離心率的平方e²，進而求出離心率．

解答：解：由題設(shè)條件知直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1即：ay+bx-ab=0
∵原點O到直線l的距離為

3

4

c∴

ab

a2+b2

=

3

4

c（4分）
又c²=a²+b²∴4ab=

3

c2從而16a²（c²-a²）=3c⁴（6分）
∵a＞0∴3e⁴-16e²+16=0解得：e²=4或e2=

4

3

（8分）
∵0＜a＜b∴e2=

a2+b2

a2

=1+

b2

a2

＞2（10分）
∴e²=4又e＞1
所以此雙曲線的離心率為2（12分）

點評：本題考查雙曲線性質(zhì)．主要考查求雙曲線的離心率常用的方法，注意橢圓中三參數(shù)的關(guān)系是：a²=b²+c²雙曲線中三參數(shù)的關(guān)系：c²=b²+a²．的不同之處．