【題目】如圖，已知底角為的等腰梯形，底邊長為12，腰長為，當(dāng)一條垂直于底邊 (垂足為）的直線從左至右移動(dòng)（與梯形有公共點(diǎn)）時(shí)，直線把梯形分成兩部分.

（1）令，試寫出直線右邊部分的面積與的函數(shù)解析式；

（2）在（1）的條件下，令.構(gòu)造函數(shù)

①判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；

②判斷函數(shù)在定義域內(nèi)是否具有單調(diào)性，并說明理由.

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：首先根據(jù)題意尋求y 與自變量x的關(guān)系，根據(jù)x的不同情況求出y與x的函數(shù)關(guān)系，得出分段函數(shù)；根據(jù)所求出的函數(shù)f(x)的解析式，按照函數(shù)g(x)的要求，寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)g(x)的解析式，研究函數(shù)g(x)在（4，8）的單調(diào)性，按照分段函數(shù)的解析式分段研究函數(shù)的單調(diào)性.

試題解析：

（1）過點(diǎn)分別作，垂足分別是.因?yàn)榈妊菪?/span>的底角為，腰長為，所以,又，所以.

當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即時(shí)， ；

當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即時(shí)， ；

當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即時(shí)， .

所以，函數(shù)解析式為

（2）

① 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上是減函數(shù).

② 雖然在和單調(diào)遞減，

但是，∴.

因此函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性.

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相關(guān)習(xí)題

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【題目】某漁場有一邊長為20m的正三角形湖面ABC（如圖所示），計(jì)劃筑一條筆直的堤壩DE將水面分成面積相等的兩部分，以便進(jìn)行兩類水產(chǎn)品養(yǎng)殖試驗(yàn)（D在AB上，E在AC上）．

（1）為了節(jié)約開支，堤壩應(yīng)盡可能短，請(qǐng)問該如何設(shè)計(jì)？堤壩最短為多少？

（2）將DE設(shè)計(jì)為景觀路線，堤壩應(yīng)盡可能長，請(qǐng)問又該如何設(shè)計(jì)？

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（1）求與的函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量的取值范圍；

（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

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【題目】已知函數(shù)f(x)＝5x＋x－2，g(x)＝log5x＋x－2的零點(diǎn)分別為x1，x2，則x1＋x2的值為________．

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【題目】網(wǎng)絡(luò)購物已經(jīng)成為一種時(shí)尚，電商們?yōu)榱颂嵘�，加大了在媒體上的廣告投入．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，近五年某電商在媒體上的廣告投入費(fèi)用x（億元）與當(dāng)年度該電商的銷售收入y（億元）的數(shù)據(jù)如下表：）：

年份

2012年

2013年

2014

2015

2016

廣告投入x

0.8

0.9

1

1.1

1.2

銷售收入y

16

23

25

26

30

（1）求y關(guān)于x的回歸方程； （2）2017年度該電商準(zhǔn)備投入廣告費(fèi)1.5億元，

利用（1）中的回歸方程，預(yù)測該電商2017年的銷售收入．

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

，選用數(shù)據(jù)： ，

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【題目】已知函數(shù)的定義域是.

（1）判斷在上的單調(diào)性，并證明；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】過點(diǎn)作拋物線的兩條切線, 切點(diǎn)分別為, .

（1） 證明: 為定值;

（2） 記△的外接圓的圓心為點(diǎn), 點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn), 對(duì)任意實(shí)數(shù), 試判斷以為直徑的圓是否恒過點(diǎn)? 并說明理由.

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【題目】有一種新型的洗衣液，去污速度特別快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時(shí)間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝k·f(x)，其中f(x)＝若多次投放，則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時(shí)，它才能起到有效去污的作用．

(1)若只投放一次k個(gè)單位的洗衣液，兩分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3(克/升)，求k的值；

(2)若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘？

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