Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）在0＜x≤$\frac{π}{3}$的條件下，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）利用定義域和值域，求得在0＜x≤$\frac{π}{3}$的條件下，求f（x）的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin （2x+$\frac{π}{6}$）+1，
所以，函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（2）∵0＜x≤$\frac{π}{3}$時，∴$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$時 函數(shù)取得最小值為2×$\frac{1}{2}$+1=2，
故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取得最大值為2×1+1=3，故f（x）的值域是[2，3]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．