Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓C上一點(diǎn)，滿足PF₁=3PF₂，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由橢圓的定義，知|PF₁|+|PF₂|=2a=8，且|PF₁|=3|PF₂|，由此能求出|PF₂|的值，然后利用圓錐曲線統(tǒng)一定義，可得P到右準(zhǔn)線的距離．

解答 解：由橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴a=4，b=2，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=8，|PF₁|=3|PF₂|
∴|PF₂|=2
求出橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)P點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為d，
根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義，得：$\frac{|P{F}_{2}|}rcita9n$=e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴d=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，給出橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的倍數(shù)關(guān)系，通過(guò)求該點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離，考查了橢圓的基本概念和圓錐曲線的統(tǒng)一定義，屬于中檔題．