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17.下列是有關(guān)三角形ABC的幾個命題,
①若tanA+tanB+tanC>0,則△ABC是銳角三角形;
②若sin2A=sin2B,則△ABC是等腰三角形;
③若(AB+AC)•BC=0,則△ABC是等腰三角形;
④若cosA=sinB,則△ABC是直角三角形; 
其中正確命題的個數(shù)是( �。�
A..1B..2C.3D.4

分析 ①根據(jù)兩角和差的正切公式進(jìn)行判斷.②根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡判斷.③根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用去判斷.④根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡判斷.

解答 解:①∵tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB),
∴tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0,
∴A,B,C是△ABC的內(nèi)角,故內(nèi)角都是銳角,故①正確;
②∵sin2A=sin2B
∴sin2A-sin2B=cos(A+B)sin(A-B)=0
∴cos(A+B)=0或sin(A-B)=0
∴A+B=\frac{π}{2}或A=B,
若sin2A=sin2B,則△ABC是等腰三角形或是直角三角形;故②錯誤
③若(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})•\overrightarrow{BC}=0,
則(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})•(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=0,
即|\overrightarrow{AB}|2-|\overrightarrow{AC}|2=0,
則|\overrightarrow{AB}|2=|\overrightarrow{AC}|2,即|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|,
則AB=AC,則△ABC是等腰三角形;正確,故③正確,
④若cosA=sinB,則sinB=cosA=sin(\frac{π}{2}-A),∴B=\frac{π}{2}-A或B+\frac{π}{2}-A=π,
即A+B=\frac{π}{2}或B-A=\frac{π}{2},則△ABC不一定為直角三角形,故④錯誤,
故選:B

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷,涉及三角形形狀的判斷,利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角公式是解決本題的關(guān)鍵.要求熟練掌握三角函數(shù)的運(yùn)算公式,考查學(xué)生的運(yùn)算能力.

練習(xí)冊系列答案
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