Question

19．已知平面上動點P到A（-$\sqrt{2}$，0）、B（$\sqrt{2}$，0）兩點的距離之差的絕對值等于2．
（1）判斷動點P的軌跡是何種圓錐曲線，并求出其軌跡方程．
（2）設點M的坐標為（$\frac{3}{2}$，0），求點M到上述曲線的最短距離．

Answer 1

分析 （1）由平面上動點P到A（-$\sqrt{2}$，0）、B（$\sqrt{2}$，0）兩點的距離之差的絕對值等于2，知點P的軌跡是以A（-$\sqrt{2}$，0）、B（$\sqrt{2}$，0）為焦點的雙曲線，由此能求出C的軌跡方程．
（2）設曲線上點的坐標為C（x，y），則|MC|=$\sqrt{（x-\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2（x-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{1}{8}}$，即可求點M到上述曲線的最短距離．

解答 解：（1）∵平面上動點P到A（-$\sqrt{2}$，0）、B（$\sqrt{2}$，0）兩點的距離之差的絕對值等于2，|AB|=2$\sqrt{2}$＞2，
∴點P的軌跡是以A（-$\sqrt{2}$，0）、B（$\sqrt{2}$，0）為焦點的雙曲線，且a=1，c=$\sqrt{2}$，b=1，
∴點P的軌跡方程是x²-y²=1．
（2）設曲線上點的坐標為C（x，y），則|MC|=$\sqrt{（x-\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2（x-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{1}{8}}$，
∵x≥1，∴x=1時，|MC|_min=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查雙曲線的定義，屬于中檔題．