Question

定義域為D的函數(shù)f（x），如果對于區(qū)間I內(nèi)（I⊆D）的任意兩個數(shù)x₁、x₂都有f（

x1+x2

2

）≥

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]成立，則稱此函數(shù)在區(qū)間I上是“凸函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=-x²在R上是否是“凸函數(shù)”，并證明你的結(jié)論；
（2）如果函數(shù)f（x）=x²+

a

x

在區(qū)間[1，2]上是“凸函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)凸函數(shù)定義判斷條件是否滿足即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)凸函數(shù)定義，建立條件關(guān)系，轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)x₁，x₂是R上的任意兩個數(shù)，則f(

x1+x2

2

)=-(

x1+x2

2

)2，

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

(-x12-x22)…（1分）
∵f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=-(

x1+x2

2

)2-

1

2

(-x12-x22)=

2x12+2x22-x12-x22-2x1•x2

4

=

x12+x22-2x1•x2

4

=

(x1-x2)2

4

≥0…（5分）
∴f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]
∴函數(shù)f（x）=-x²在R上是“凸函數(shù)”…（6分）
（2）設(shè)x₁，x₂是

1，&2

上的任意兩個數(shù)，均有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立
即(

x1+x2

2

)2+

a

x1+x2 2

≥

1

2

[(x12+

a

x1

)+(x22+

a

x2

)]                        …（7分）
整理得(x1-x2)2a≤-

1

2

(x1-x2)2x1•x2(x1+x2)…（9分）
①若x₁=x₂，a可以取任何值                                            …（10分）
②若x₁≠x₂，a≤-

1

2

x1•x2(x1+x2)，
∵x₁，x₂∈[1，2]，
∴-8≤-

1

2

x1•x2(x1+x2)≤-1，
∴a≤-8…（13分）
綜上所述得a≤-8  …（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的考查，利用凸函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力．