Question

在正三棱錐S-ABC中，D是AB的中點(diǎn)，且SD與BC成45°角，則SD與底面ABC所成角的正弦為（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  1

  3

• C、

  3

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

分析：由題意，利用方程的思想，先設(shè)出側(cè)棱長(zhǎng)為l，正三棱錐的底邊長(zhǎng)為a，利用異面直線所成角的概念及已知的所成角為45°建立l和a的方程，解出棱長(zhǎng)l用a表示，在利用直線與平面所成角的概念求出所要求得線面角．

解答：解：由題義畫(huà)出以下圖形：由于三棱錐S-ABC為正三棱錐，設(shè)側(cè)棱為l，底面邊長(zhǎng)為a，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，且SD與BC成45°角，如圖取AC的中點(diǎn)E，因?yàn)镈E∥BC，所以∠SDE=45°，在直角三角形SDE可以建立l2-

a2

4

+l2-

a2

4

=

a2

4

?l=

3 8

a，在直角三角形SOD中，OD=

3

6

a，SD=

l2- a2 4

 =

3 8 a2- a2 4

=

1 8

a，SO=

1 24

a，所以直線ssssSD與平面ABC所成的線面角即為∠SDO，所以SD與底面ABC所成角的正弦值為sin∠SDO=

SO

SD

=

3

3

，
故答案為：C

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了異面直線所成角的概念，還考查了直線與平面所成的線面角的概念及解題過(guò)程中方程的解題思想．