Question

4．已知$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是平面內兩個不共線的非零向量，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{e_1}+λ\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{EC}=-2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，且A，E，C三點共線．
（1）求實數λ的值；
（2）已知$\overrightarrow{e_1}$=（2，1），$\overrightarrow{e_2}$=（2，-2），點D（3，5），若A，B，C，D四點按逆時針順序構成平行四邊形，求點A的坐標．

Answer 1

分析 （1）可以利用三點共線，得到向量的線性關系，解出λ的值，得到本題結論，
（2）由已知幾何條件得到向量間關系，再坐標化得到A點的坐標，即本題答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+（-$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（1+λ）$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∵A，E，C三點共線，
∴存在實數k，使得$\overrightarrow{AE}$=k$\overrightarrow{EC}$，
即$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（1+λ）$\overrightarrow{{e}_{2}}$=k（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
得（1+2k）$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（k-1-λ）$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是平面內兩個不共線的非零向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2k=0}\\{λ=k-1}\end{array}\right.$，解得k=-$\frac{1}{2}$，λ=-$\frac{3}{2}$．
（2）$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EC}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$
=（-6，-3）+（-1，1）=（-7，-2）．
∵A，B，C，D四點按逆時針順序構成平行四邊形，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$．
設A（x，y），則$\overrightarrow{AD}$=（3-x，5-y），
∵$\overrightarrow{BC}$=（-7，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-x=-7}\\{5-y=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=7}\end{array}\right.$，即點A的坐標為（10，7）．

點評 本題考查了向量共線和向量的坐標運算，本題難度不大，屬于基礎題．