Question

如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD,AB=4,BC=CD=2, AA=2,  E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。               

（Ⅰ）證明：直線∥平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

（Ⅱ）求二面角的余弦值

Answer 1

（Ⅱ）

解析:

解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點(diǎn)F₁，

連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因?yàn)锳B=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D，

又因?yàn)镋、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn)，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因?yàn)?img width=45 height=24 id="_x268A6113AGMb_i1089" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/141/114141.gif">平面FCC，平面FCC，

所以直線EE//平面FCC.······6分

（2）因?yàn)锳B=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點(diǎn),所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點(diǎn)O,則OB⊥CF,又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-ABCD中,CC₁⊥平面ABCD,所以CC₁⊥BO,所以O(shè)B⊥平面CC₁F,過(guò)O在平面CC₁F內(nèi)作OP⊥C₁F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個(gè)平面角, 在△BCF為正三角形中,,在Rt△CC₁F中, △OPF∽△CC₁F,∵∴, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    ··········11分

在Rt△OPF中,,,所以

二面角B-FC-C的余弦值為.·······14分