Question

6．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的虛軸的上頂點是A，右焦點是F，O為坐標原點，點P滿足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PF}$，若直線OP的傾斜角是60°，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 利用點P滿足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PF}$，求出P的坐標，利用直線OP的傾斜角是60°，可得b，c的關系，即可求出該雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，A（0，b），F(xiàn)（c，0），
設P（x，y），則∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PF}$，
∴（x，y-b）=$\frac{1}{2}$（c-x，-y），
∴x=$\frac{1}{3}$c，y=$\frac{2}{3}$b，
∵直線OP的傾斜角是60°，
∴$\frac{\frac{2}{3}b}{\frac{1}{3}c}$=$\sqrt{3}$，
∴b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴a=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=$\frac{1}{2}c$，
∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，確定b，c的關系是關鍵．