Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，點（a_n，a_n+1+1）在函數(shù)f（x）=2x+1的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（3）設(shè)，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）∵（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）=2x+1的圖象上
則a_n+1+1=2a_n+1（n∈N^*）有a_n+1=2a_n
∵a₁=1，
∴a_n≠0，
∴
∴{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，通項公式為a_n=2^n-1（n∈N^*）
（2）∵a_n=2^n-1（n∈N^*），
∴a₁=1，q=2，
=2ⁿ-1．（n∈N^*）．
（3）∵=，
∴T_n=，①
T_n=，②
①-②，得=
=，
∴T_n=2-．
分析：（1）：將點（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）代入函數(shù)f（x）=2x+1的解析式，整理后發(fā)現(xiàn){a_n}是公比為2的等比數(shù)列，通項公式可求：a_n=2^n-1
（2）由a_n=2^n-1（n∈N^*），知a₁=1，q=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．
（3）由=，知T_n=，由此利用錯位相減法能夠求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的判定，性質(zhì)和數(shù)列的求和．對于一些特殊數(shù)列的求和可利用錯位相減法、裂項法等方法來解決．