Question

10．某工廠共有10臺機(jī)器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制，會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，若每臺機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P（萬件）與每臺機(jī)器的日產(chǎn)量x（萬件）（4≤x≤12）之間滿足關(guān)系：P=0.1x²-3.2lnx+3，已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每產(chǎn)生1萬件裝次品將虧損1萬元．（利潤=盈利-虧損）
（I）試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤y（萬元）表示為x的函數(shù)；
（II）當(dāng)每臺機(jī)器的日產(chǎn)量x（萬件）寫為多少時(shí)所獲得的利潤最大，最大利潤為多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用利潤=盈利-虧損，得到y(tǒng)與p的關(guān)系，將p代入整理即可；
（Ⅱ）對（Ⅰ）的解析式求導(dǎo)，判定取最大值時(shí)的x值，求最大利潤．

解答 解：（I）由題意，所獲得的利潤為
y=10[2（x-p）-p]=10（2x-3p）=20x-30p=20x-3x²+96lnx-90（4≤x≤12）
（II）由（Ⅰ）得y'=20-6x+$\frac{96}{x}$=$\frac{-6{x}^{2}+20x+96}{x}=\frac{-2（3x+8）（x-6）}{x}$，
令y'=0，得到x=6或x=-$\frac{8}{3}$（舍去）；
所以當(dāng)4≤x＜6，y'＞0，函數(shù)在[4，6]為增函數(shù)，當(dāng)6＜x＜12時(shí)，y'＜0，函數(shù)在（6，12）為減函數(shù)；
所以當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)去極大值，即最大值，
所以當(dāng)x=6時(shí)利潤最大，為20×6-3×6²+96ln6-90=96ln6-78（萬元），
當(dāng)每臺機(jī)器的日產(chǎn)量為6（萬件）時(shí)所獲得的利潤最大，最大利潤為96ln6-78萬元．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系，利用求導(dǎo)，求最值．