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8.設(shè)23<a<1,函數(shù)f(x)=x3-32ax2+b在區(qū)間[-1,1]上的最大值為1,最小值為-62,求f(x)的表達(dá)式.

分析 求導(dǎo)f′(x)=3x2-3ax=3x(x-a),從而確定函數(shù)f(x)在[-1,0)上是增函數(shù),在(0,a)上是減函數(shù),在(a,1]上是增函數(shù);從而可得f(-1)=-1-32a+b=-62,f(0)=b=1,從而求得.

解答 解:∵f(x)=x3-32ax2+b,
∴f′(x)=3x2-3ax=3x(x-a),
∴當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),f′(x)>0;
當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈(a,1]時(shí),f′(x)>0;
∴f(x)在[-1,0)上是增函數(shù),在(0,a)上是減函數(shù),在(a,1]上是增函數(shù);
而f(-1)=-1-32a+b,f(a)=a3-32a3+b,
f(a)-f(-1)=-12a3+32a+1,
令g(a)=-12a3+32a+1,則g′(a)=-32(a2-1)>0,
故f(a)-f(-1)>g(23)>0,
故f(-1)=-1-32a+b=-62,
同理可得,f(0)=b=1,
解得,a=63,b=1;
故f(x)=x3-62x2+1.

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想與整體思想的應(yīng)用.

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(1)求出數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
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(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
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(3)設(shè)cn=anbn,試求數(shù)列{cn}最大項(xiàng).

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