Question

方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示的曲線為C，給出下列四個(gè)命題：
①曲線C不可能是圓；
②若曲線C為橢圓，則1＜t＜4；
③若曲線C為雙曲線，則t＜1或t＞4；
④若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1＜t＜

5

2

．
其中正確命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓的定義得出當(dāng)4-t=t-1時(shí)，即t=

5

2

時(shí)，表示圓；當(dāng)（4-t）（t-1）＜0時(shí)，即t＜1或t＞4時(shí)方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示雙曲線；當(dāng)滿足

4-t＞0  t-1＞0 4-t＞t-1

時(shí)，即1＜t＜

5

2

時(shí)方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)滿足

4-t＞0   t-1＞0 4-t＜t-1

時(shí)，即

5

2

＜t＜4時(shí)方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，從而得出結(jié)論．

解答：解：由圓的定義可知：當(dāng)4-t=t-1時(shí)，即t=

5

2

時(shí)方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示圓，故①錯(cuò)誤；
由雙曲線的定義可知：當(dāng)（4-t）（t-1）＜0時(shí)，即t＜1或t＞4時(shí)方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示雙曲線，故③正確；
由橢圓定義可知：（1）當(dāng)橢圓在x軸上時(shí)，當(dāng)滿足

4-t＞0  t-1＞0 4-t＞t-1

時(shí)，即1＜t＜

5

2

時(shí)方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故④正確．
（2））當(dāng)橢圓在y軸上時(shí)，當(dāng)滿足

4-t＞0   t-1＞0 4-t＜t-1

時(shí)，即

5

2

＜t＜4時(shí)方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故②錯(cuò)誤．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，尤其要注意橢圓在x軸和y軸上兩種情況，屬于基礎(chǔ)題．