Question

6．某開山車制造公司，每天生產(chǎn)某型號(hào)的開山車x臺(tái)（0＜x≤10，x∈N^*）時(shí)，每天銷售收入函數(shù)f（x）=ax²+630lnx+15（單位：萬元），其每天成本滿足g（x）=20x-a（單位：萬元）．已知該公司不生產(chǎn)這種型號(hào)的開山車時(shí)，其每天成本為5萬元
（Ⅰ）求利潤(rùn)函數(shù)R（x）的解析式（單位：萬元）；
（Ⅱ）問該公司每天生產(chǎn)多少輛大型開山車時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（精確到0.1）
（參考數(shù)據(jù)ln7=1.95，ln8=2.08，ln9=2.20）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，x=0，a=-5，所以g（x）=20x-5，即可得到R（x）=f（x）-g（x）的解析式；
（Ⅱ）對(duì)R（x）求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得極大值，且為最大值，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）由題意，x=0，g（0）=-a=5，即a=-5，
所以g（x）=20x-5，
則R（x）=f（x）-g（x）=-5x²+630lnx+15-（20x-5）
=-5x²-20x+630lnx+20（0＜x≤10，x∈N^*）；
（Ⅱ）R（x）═-5x²-20x+630lnx+20的導(dǎo)數(shù)為
R′（x）=-10x-20+$\frac{630}{x}$=-$\frac{10（x+9）（x-7）}{x}$，
當(dāng)7＜x＜10時(shí)，R′（x）＜0，R（x）遞減；
當(dāng)0＜x＜7時(shí)，R′（x）＞0，R（x）遞增．
則R（x）在x=7處取得極大值，且為最大值，
可得R（7）=-5×49-20×7+630ln7+20≈863.5．
則該公司每天生產(chǎn)7輛大型開山車時(shí)，
利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是863.5萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的解析式的求法和最值的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．