已知函數(shù)f(x)=
1
4
x4
-ax2+2x(a∈R).
(Ⅰ)若a=
3
2
,求函數(shù)f(x)極值;
(Ⅱ)設(shè)F(x)=f′(x)+(2a-1)x2+a2x-2,若函數(shù)F(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求出f′(x),解f′(x)=0,討論各區(qū)間的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷極值點(diǎn),求極值;
(Ⅱ)函數(shù)F(x)在[0,1]上單調(diào)遞增”得到導(dǎo)數(shù)大于或者等于0恒成立,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)只要最小值大于或者等于0,即得a的范圍.
解答: (Ⅰ)解:當(dāng)a=
3
2
時(shí),f'(x)=x3-3x+2=(x-1)2(x+2)=0,
解得:x=1或x=-2.…(2分)
∵當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),f'(x)<0;
當(dāng)x∈(-2,1)時(shí),f'(x)>0;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0.…(4分)
∴f(x)的極小值為f(-2)=-6.…(5分)
(Ⅱ)由已知,F(xiàn)(x)=x3+(2a-1)x2+(a2-2a)x,
因?yàn)楹瘮?shù)F(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,
所以F'(x)=3x2+(4a-2)x+a2-2a≥0在[0,1]上恒成立,…(7分)
F′(x)=3(x+
2a-1
3
)2-
(a+1)2
3

(1)當(dāng)對(duì)稱軸x=
1-2a
3
∈(0,1)
時(shí),
只要-
(a+1)2
3
≥0,即a∈ϕ,…(9分)
(2)當(dāng)對(duì)稱軸x=
1-2a
3
≥1
x=
1-2a
3
≤0
時(shí),
只要
F′(0)≥0
F′(1)≥0.
a2-2a≥0
3+2(2a-1)+a2-2a≥0.
得a≤-1或a≥2.…(11分)
綜上所述,a≤-1或a≥2.…(12分)
解法二:F(x)=x3+(2a-1)x2+(a2-2a)x,F(xiàn)'(x)=3x2+(4a-2)x+(a2-2a)=(3x+a-2)(x+a).…(6分)
由已知得:F'(x)=(3x+a-2)(x+a)≥0在[0,1]上恒成立,…(8分)
當(dāng)
2-a
3
=-a
時(shí),即a=-1時(shí),符合題意;…(9分)
當(dāng)
2-a
3
>-a
時(shí),即a>-1時(shí),只須-a≥1或
2-a
3
≤0
,
∴a≤-1或a≥2,∴a≥2;…(10分)
當(dāng)
2-a
3
<-a
時(shí),即a<-1時(shí),只須-a≤0或
2-a
3
≥1
,
∴a≥0或a≤-1,∴a<-1.…(11分)
綜上所述,a≤-1或a≥2.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)極值的求法、根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,函數(shù)的最值及根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法,函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
-x3+x2,x<1
einx,x≥1
,若關(guān)于x的方程f(x)=kx(x∈R)恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍為( 。
A、k≤0或
1
4
<k<1
B、k=1或k≤0
C、
1
4
<k<1
D、k≤0或
1
4
<k<e

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已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面積和體積分別為12和24,且AB=AD,求該長(zhǎng)方體外接球的表面積.

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已知橢圓x2+
y2
3
=1
的上、下頂點(diǎn)分別為A1和A2,M(x1,y)和N(-x1,y)是橢圓上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).
(I)求直線A1M與A2N交點(diǎn)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)F(0,2)的動(dòng)直線z與曲線C交于A、B兩點(diǎn),
AF
FB
問在y軸上是否存在定點(diǎn)E,使得
OF
⊥(
EA
EB
)?若存在,求出E點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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計(jì)算:cos10°•cos20°•cos40°•cos80°.

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設(shè)函數(shù)f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212.
(1)求a,b的值;
(2)當(dāng)x∈[1,3]時(shí),求f(x)的最大值.

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設(shè)直線l過雙曲線C在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn),且與y軸平行,l與C交于A、B兩點(diǎn),線段|AB|的長(zhǎng)為雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)的3倍,則C的離心率為
 

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直線l:(m+2)x+(m-1)y-2m-1=0與橢圓
x2
2
+
y2
3
=1的位置關(guān)系為( 。
A、相交B、相切
C、相離D、與m值有關(guān)

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已知雙曲線x2-
y2
3
=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則
PA1
PF2
最小值為(  )
A、-2
B、-
81
16
C、1
D、0

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