Question

7．已知函數f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0），滿足對任意f（x₁）=f（x₂）=0．都有|x₁-x₂|≥$\frac{π}{2}$，把函數f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數g（x）的圖象，關于函數g（x），下列說法正確的是（　　）

• A． 其圖象關于直線x=-$\frac{π}{4}$對稱
• B． 函數g（x）是奇函數
• C． 在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是增函數
• D． x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時，函數g（x）的值域是[-2，1]

Answer 1

分析 根據三角函數的圖象和性質求出函數的周期和ω，根據三角函數的圖象變換關系，求出g（x）的解析式，利用函數奇偶性，對稱性和單調性的性質分別進行判斷即可．

解答 解：∵對任意f（x₁）=f（x₂）=0．都有|x₁-x₂|≥$\frac{π}{2}$，
∴函數的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，
則$\frac{2π}{ω}$=π，則ω=2，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
把函數f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到y(tǒng)=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，即g（x）=2cos2x
A．g（-$\frac{π}{4}$）=2cos2（-$\frac{π}{4}$）=2cos（-$\frac{π}{2}$）=0≠±1，則圖象關于直線x=-$\frac{π}{4}$不對稱，故A錯誤，
B．g（x）=2cos2x是偶函數，故B錯誤，
C．當$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$時，$\frac{π}{2}$≤2x≤π時，此時函數g（x）為減函數，故C錯誤，
D．若x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，則2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，則2cos2x∈[2cosπ，2cos$\frac{π}{3}$]，
即2cos2x∈[-2，1]，
即函數g（x）的值域是[-2，1]，故D錯誤，
故選：D

點評 本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的圖象的對稱性，考查學生的運算和推理能力．