Question

（2006•咸安區(qū)模擬）△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別是（-a，0），（a，0）（a＞0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于k．
①若k=-1，則△ABC是直角三角形；
②若k=1，則△ABC是直角三角形；
③若k=-2，則△ABC是銳角三角形；
④若k=2，則△ABC是銳角三角形．
以上四個命題中正確命題的序號是

①、③

．

Answer 1

分析：設C（x，y）由題意可得，

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=k（y≠0），由AC，BC的斜率存在可知A≠90°，B≠90°
①k=-1，可得x²+y²=a²，根據(jù)圓的性質可判斷C
②k=1，可得x²-y²=1，而x²+y²=a²（y≠0）與x²-y²=1無公共點可判斷C
③k=-2，可得

x2

a2

+

y2

2a2

=1，則C在在

x2

a2

+

y2

2a2

=1上，同時在圓x²+y²=a²（y≠0）外，從而可得C，而K_AC•K_BC＜0可得直線AC的傾斜角為銳角，BC的傾斜角為鈍角，可判斷B，A
④當k=2時可得，

x2

a2

-

y2

2a2

=1，同②可得C≠90°，由K_AC•K_BC＞0，根據(jù)兩直線的傾斜角可判斷A，B

解答：解：設C（x，y）由題意可得，

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=k（y≠0）
由AC，BC的斜率存在可知A≠90°，B≠90°
①k=-1，可得x²+y²=a²，則∠C=

π

2

②k=1，可得x²-y²=1，而x²+y²=a²（y≠0）與x²-y²=1無公共點，即∠C≠

π

2

，A≠90°，B≠90°
③k=-2，可得

x2

a2

+

y2

2a2

=1，而x²+y²=a²（y≠0），則C在在

x2

a2

+

y2

2a2

=1上，同時在圓x²+y²=a²（y≠0）外，從而可得C＜90°，而K_AC•K_BC＜0可得直線AC的傾斜角為銳角，BC的傾斜角為鈍角，故可得B＜90°，A＜90°
④當k=2時可得，

x2

a2

-

y2

2a2

=1，同②可得C≠90°，但由K_AC•K_BC＞0可得兩直線的傾斜角同時為銳角（或鈍角）從而可得A，B中有一個銳角一個鈍角
故答案為：①③

點評：本題以軌跡方程的求解為切入點，主要考查了圓與橢圓、雙曲線的性質的求解，解題的關鍵是靈活利用圓的性質及直線的傾斜角與斜率的關系．