Question

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，（n∈N^*，N≥3）．
（1）求證：a3=

(n+1)n(n-1)(n-2)

24

；
（2）若a₁+a₂+…+a_n-1=29-n，求正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析：（1）利用組合數(shù)先表示出a₃，再利用組合和的性質(zhì)化簡(jiǎn)組合數(shù)的和，得到證明．
（2）先求出a_n，再通過(guò)給二項(xiàng)式中的x分別賦值0，1得到a₀=n和a₀+a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=2ⁿ⁺¹-2，進(jìn)一步求出a₁+a₂+…+a_n-1，
代入已知等式，解方程求出n的值．

解答：證明：（1）a₃為x³的系數(shù)，
所以a₃=

C

3 3

+

C

3 4

+

C

3 5

+…+

C

3 n

=

C

4 4

+

C

3 4

+

C

3 5

+…+

C

3 n

=

C

4 n+1

=

(n+1)n(n-1)(n-2)

24

所以a3=

(n+1)n(n-1)(n-2)

24

解：（2）只有（1+x）ⁿ的展開(kāi)式中才有含xⁿ的項(xiàng)，它的系數(shù)為1，
令x=0得a₀=n，
令x=1得a₀+a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=2+2²+2³++2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2，
∴a₁+a₂+…+a_n-1=2ⁿ⁺¹-2-1-n
∴2ⁿ⁺¹-3-n=29-n
得n=4；

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求特殊項(xiàng)的系數(shù)；考查組合數(shù)的性質(zhì)；考查利用賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和，屬于中檔題．