Question

已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+5）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值，并求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知：當(dāng)0＜x＜

1

2

時，不等式f（x）+3＜2x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，用特殊值法，令x=-1，y=1，可得f（0）-f（1）=-1（-1+2+1），可得f（0）=-2，再令y=0，可得f（x）-f（0）=x（x+1），結(jié)合f（0）的值，計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，可得g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2，其對稱軸為x=

a-1

2

，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得

a-1

2

≤-2或

a-1

2

≥2，解可得a的取值范圍；
（3）根據(jù)題意，f（x）+3＜2x+m可以變形為x²-x+1＜m，又由0＜x＜

1

2

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，x²-x+1＜1，若x²-x+1＜m恒成立，只需令m大于x²-x+1的最大值即可．

解答：解：（1）在f（x+y）-f（y）=（x+2y+5）中，
令x=-1，y=1，可得f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
又由f（1）=0，則f（0）=-2，
令y=0，則f（x）-f（0）=x（x+1），
又∵f（0）=-2，
∴f（x）=x²+x-2，
（2）g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2，其對稱軸為x=

a-1

2

，
若g（x）=f（x）-ax在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，
得

a-1

2

≤-2或

a-1

2

≥2，
解可得a≤-3或a≥5；
（3）根據(jù)題意，f（x）+3＜2x+m，
則有x²+x-2+3＜2x+m，即x²-x+1＜m，
又由0＜x＜

1

2

，則

3

4

＜x²-x+1＜1，
又x²-x+1＜m恒成立，
所以m≥1．

點評：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)恒成立問題，關(guān)鍵是用特殊值法求出f（x）的解析式．