Question

已知點(diǎn)P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0．
（1）若直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，求l的方程；
（2）求過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓相交的性質(zhì)

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）先整理出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心C（-2，6），半徑r=4，利用垂徑定理結(jié)合題意，即可求出直線l的方程．
（2）先求得圓心O的坐標(biāo)和PO中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)可知，過(guò)P點(diǎn)的⊙C的弦的中點(diǎn)軌跡是以PO中點(diǎn)為圓心，以

1

2

|PO|為半徑的圓，進(jìn)而可得圓的方程．

解答： 解：（1）圓方程可化為（x+2）²+（y-6）²=16，
∴圓心C（-2，6），半徑r=4，
∴k_CP=-

1

2

，
∴當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程為y=2x+5．
（2）由P（0，5），O（-2，6），PO中點(diǎn)坐標(biāo)（-1，

11

2

）設(shè)弦中點(diǎn)為M，則∠PMO=90°
由此可知過(guò)P點(diǎn)的⊙C的弦的中點(diǎn)軌跡是以PO中點(diǎn)為圓心，以

1

2

|PO|為半徑的圓，
∵

1

2

|PO|=

5

2

∴過(guò)P點(diǎn)的⊙C的弦的中點(diǎn)軌跡方程為（x+1）²+（y-

11

2

）²=

5

4

，
又此方程是弦中點(diǎn)的軌跡方程，故應(yīng)為在圓C：x²+y²+4x-12y+24=0內(nèi)部的部分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．