Question

統(tǒng)計某校高三年級100名學生的數(shù)學月考成績，得到樣本頻率分布直方圖如下圖所示，已知前4組的頻數(shù)分別是等比數(shù)列{a_n}的前4項，后6組的頻數(shù)分別是等差數(shù)列{b_n}的前6項，
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設m、n為該校學生的數(shù)學月考成績，且已知m、n∈[70，80）∪[140，150]，求事件|m-n|＞10”的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標×組據(jù)；頻數(shù)=頻率×樣本容量，求出等比數(shù)列的第2，3項，求出公比，利用等比數(shù)列的通項公式求出通項，再利用等比數(shù)列的通項公式求出第4項，后6組的頻數(shù)分別是等差數(shù)列{b_n}的前6項，求出等差數(shù)列的通項公式求出通項．
（2）求出成績在[70-80），[140，150]中的人數(shù)，然后利用古典概型的概率公式解之即可．
解答：解：（1）由已知：第2組的頻數(shù)為3，第3組的頻數(shù)為9，又前4組的頻數(shù)是等比數(shù)列，所以公比3，首項為1
∴a_n=3^n-1，（3分）
又第4組的頻數(shù)為27，后6組是首項為27，和是87的等差數(shù)列，
即b₁=27，S₆=87，則d=-5
所以b_n=-5n+32．（6分）
（2）由（1）知成績在[70-80）的有3人，成績在[140，150]中的有2人，
分別記為：a₁，a₂，a₃和b₁，b₂，由|m-n|＞10知，這兩人必來自兩個不同的組，（8分）
所以事件“|m-n|＞10”的概率為．（13分）
點評：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，以及等可能事件的概率和頻率分別直方圖，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．