Question

已知函數(shù)

f(x)=-x|x|+px

．
（Ⅰ）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（Ⅱ）當(dāng)p=2時判斷函數(shù)f（x）在（-1，0）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義，證明f（-x）=f（x）即可；
（Ⅱ）函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，利用單調(diào)性的定義證明．當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）=x²+2x．設(shè)-1＜x₁＜x₂＜0，則x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞-2，即x₁+x₂+2＞0，從而可得f(x1)-f(x2)=(

x

2 1

-

x

2 2

)+2(x1-x2)=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）＜0，問題可證．

解答：（Ⅰ）解：定義域是R，函數(shù)是奇函數(shù)． 
證明：∵

f(-x)=x|-x|-px=-(-x|x|+px)=-f(x)

∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）解：是單調(diào)遞增函數(shù)．
證明：當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）=x²+2x
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜0，則x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞-2，即x₁+x₂+2＞0
∵f(x1)-f(x2)=(

x

2 1

-

x

2 2

)+2(x1-x2)=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函數(shù)f（x）在（-1，0）上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題綜合考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查奇偶性、單調(diào)性的定義，證明單調(diào)性的關(guān)鍵在于作差變形這一步．