Question

在連續(xù)自然數(shù)100，101，102，…，999中，對于{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，取三個不同且不相鄰的數(shù)字按遞增或遞減的順序排成的三位數(shù)有

91

個．

Answer 1

分析：分兩類：①這個三位數(shù)的排列從左向右遞減時，若有0，則0在個位． 求得從10個數(shù)字中選3個不相鄰數(shù)字，不同的情況共有

C

3 8

種．
②這個三位數(shù)的排列從左向右遞增時，不能有0，則應(yīng)從1到9的9個數(shù)字中，選3個不相鄰的數(shù)字，同①有

C

3 7

種． 把得到的這兩個數(shù)相加，即得所求．

解答：解：把這些數(shù)分兩類：①當(dāng)這個三位數(shù)從左到右遞減時，若有0，則0在個位，符合要求．
從10個數(shù)字中選3個不相鄰數(shù)字，相當(dāng)于從所給的10個位置中選3個不相鄰的位置．
故可將要選的3個位置插在其余的7個位置形成的8個空位之中，故不同的三位數(shù)共有

C

3 8

 種．
②當(dāng)這個三位數(shù)從左到右遞增時，每個位上不能有0．
則應(yīng)從1到9的9個數(shù)字中，選3個不相鄰的數(shù)字．
這相當(dāng)于從所給的9個位置中選3個不相鄰的位置．
故可將要選的3個位置插在其余6個位置形成的7個空位之中，故不同的三位數(shù)有

C

3 7

 種，
綜上，所求的三位數(shù)有：

C

3 8

+

C

3 7

=91（個），
故答案為 91．

點評：本題主要考查排列、組合以及簡單計數(shù)原理的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論和等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．