Question

已知直線l過(guò)原點(diǎn),拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,且點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(0,8)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)都在C上,求直線l和拋物線C的方程.

Answer 1

解法一:設(shè)拋物線C的方程為y²=2px(p>0),直線l的方程為y=kx(k≠0),則有點(diǎn)A(-1,0)、點(diǎn)B(0,8)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x₁,y₁)、B′(x₂,y₂),則有

解得

解得

如圖,A′、B′在拋物線上,?

∴

兩式相除,消去p,整理,得k²-k-1=0,

故k=.

由p>0,且k>0,得k=.?

把k=代入,得p=,

∴直線l的方程為y=x,拋物線C的方程為y²=x.

解法二:設(shè)點(diǎn)A、B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x₁,y₁)、B′(x₂,y₂),又設(shè)∠B′Ox=α,依題意,有|OA′|=|OA|=1,|OB′|=|OB|=8.

故x₂=8cosα,y₂=8sinα.

由∠BOA=90°,知∠B′OA′=90°.

∴x₁=cos(α-90°)=sinα,y₁=sin(α-90°)=-cosα.

又x₁>0,x₂>0,故α為第一象限的角.?

∴A′(sinα,-cosα)、B′(8cosα,8sinα).

將A′、B′的坐標(biāo)代入拋物線方程,得.

∴8sin³α=cos³α,

即tanα=.從而sinα=,cosα=,?

∴p=,得拋物線C的方程為y²=x.?

又直線l平分∠B′OB,得l的傾斜角為α+= +45°.

∴k=tan(+45°)===.

∴直線l的方程為y=x.