Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b≥1）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為EE，直線(xiàn)EF被圓x²+y²=$\frac{15}{16}$截得的弦長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M（3，0）的直線(xiàn)交橢圓C于點(diǎn)A，B點(diǎn)，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=t$\overrightarrow{OP}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|AB|＜$\sqrt{3}$時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和弦長(zhǎng)公式，以及a，b，c的關(guān)系，解得a=2，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），AB方程為y=k（x-3），與橢圓方程聯(lián)立消掉y得x的二次方程，由△＞0得k²＜$\frac{1}{5}$，由韋達(dá)定理及$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=t$\overrightarrow{OP}$，用k、t表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程得36k²=t²（1+4k²）①，由弦長(zhǎng)公式及|AB|＜$\sqrt{3}$可得k²＞$\frac{1}{8}$，即有$\frac{1}{8}$＜k²＜$\frac{1}{5}$②，聯(lián)立①②可求得t的范圍．

解答 解：（1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F（-c，0），上頂點(diǎn)為E（0，b），
直線(xiàn)EF的方程為bx-cy+bc=0，
圓心到直線(xiàn)的距離為d=$\frac{|bc|}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$，
可得弦長(zhǎng)為2$\sqrt{\frac{15}{16}-\frac{^{2}{c}^{2}}{^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有3b²+3c²=4b²c²，
又c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），AB方程為y=k（x-3），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0．
由△=24²k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0，得k²＜$\frac{1}{5}$，
x₁+x₂=$\frac{24{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{36{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
可得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=t$\overrightarrow{OP}$，
即有（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
則x=$\frac{1}{t}$（x₁+x₂）=$\frac{1}{t}$•$\frac{24{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y=$\frac{1}{t}$（y₁+y₂）=$\frac{1}{t}$[k（x₁+x₂）-6k]=$\frac{-6k}{t（1+4{k}^{2}）}$，
由點(diǎn)P在橢圓上，得$\frac{（24{k}^{2}）^{2}}{{t}^{2}（1+4{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{144{k}^{2}}{{t}^{2}（1+4{k}^{2}）^{2}}$=4，化簡(jiǎn)得36k²=t²（1+4k²）①，
又由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|＜$\sqrt{3}$，即（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]＜3，
將x₁+x₂，x₁x₂代入得（1+k2）[$\frac{2{4}^{2}{k}^{4}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$-$\frac{4（36{k}^{2}-4）}{1+4{k}^{2}}$]＜3，
化簡(jiǎn)得（8k²-1）（16k²+13）＞0，
則8k²-1＞0，即k²＞$\frac{1}{8}$，則$\frac{1}{8}$＜k²＜$\frac{1}{5}$，②
由①，得t²=$\frac{36{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=9-$\frac{9}{1+4{k}^{2}}$，聯(lián)立②，可得3＜t²＜4，
解得-2＜t＜-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$＜t＜2．
則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-2，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)方程、橢圓方程、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、向量的線(xiàn)性運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)．