(本題滿分14分)

已知是函數(shù)的一個極值點,且函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為2.

(Ⅰ)求函數(shù)的解析式并求單調(diào)區(qū)間.(5分)

(Ⅱ)設,其中,問:對于任意的,方程在區(qū)間上是否存在實數(shù)根?若存在,請確定實數(shù)根的個數(shù).若不存在,請說明理由.(9分)

 

【答案】

(I),單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是;

(Ⅱ)對于任意的,方程在區(qū)間上均有實數(shù)根且當時,有唯一的實數(shù)解;當時,有兩個實數(shù)解。

【解析】

試題分析:(Ⅰ)由x=0是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一個極值點,f(0)=0,得到關于a,b的一個方程,函數(shù)f(x)的圖象在x=2處的切線的斜率為2e2,f(2)=2e2;得到一個關于a,b的一個方程,解方程組求出a,b即可;

(Ⅱ)把求得的f′(x)代入g(x),方程g(x)=(m-1)2在區(qū)間(-2,m)上是否存在實數(shù)根,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)在區(qū)間(-2,m)上的單調(diào)性、極值、最值問題.

解:(I)………………1分

……………………2分

,故………3分

………………4分

,單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是……5分.

(Ⅱ)解:假設方程在區(qū)間上存在實數(shù)根

是方程的實根,,………………6分

 令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0

上有實根,并討論解的個數(shù)……………………7分

因為,,

所以 ①當時,,所以上有解,且只有一解.…………………………9分

②當時,,但由于,

所以上有解,且有兩解 ……………………………10分

③當時,,所以上有且只有一解;

時,,

所以上也有且只有一解…………………………………12分

綜上, 對于任意的,方程在區(qū)間上均有實數(shù)根且當時,有唯一的實數(shù)解;當時,有兩個實數(shù)解……14分

考點:本試題主要考查了函數(shù)在某點取得極值的條件和導數(shù)的幾何意義,求函數(shù)f(x)的解析式體現(xiàn)了方程的思想;方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,再求函數(shù)最值中,又用到了分類討論的思想;屬難題

點評:解決該試題的關鍵是方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,并能利用導數(shù)的幾何意義求解切線方程問題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本題滿分14分
A.選修4-4:極坐標與參數(shù)方程在極坐標系中,直線l 的極坐標方程為θ=
π
3
(ρ∈R ),以極點為坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=1+cos2α
(α 參數(shù)).求直線l 和曲線C的交點P的直角坐標.
B.選修4-5:不等式選講
設實數(shù)x,y,z 滿足x+y+2z=6,求x2+y2+z2 的最小值,并求此時x,y,z 的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本題滿分14分)如圖,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABEAEEBBC=2,上的點,且BF⊥平面ACE

(1)求證:AEBE;(2)求三棱錐DAEC的體積;(3)設M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點N,使得MN∥平面DAE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年江蘇省高三上學期期中考試數(shù)學 題型:解答題

(本題滿分14分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}

(Ⅰ)若AB=[0,3],求實數(shù)m的值

(Ⅱ)若ACRB,求實數(shù)m的取值范圍

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年福建省高三上學期第三次月考理科數(shù)學卷 題型:解答題

(本題滿分14分)

已知點是⊙上的任意一點,過垂直軸于,動點滿足

(1)求動點的軌跡方程; 

(2)已知點,在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點,使 (O是坐標原點),若存在,求出直線的方程,若不存在,請說明理由。

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2014屆江西省高一第二學期入學考試數(shù)學 題型:解答題

(本題滿分14分)已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的定義域;

(2)判斷的奇偶性;

(3)方程是否有根?如果有根,請求出一個長度為的區(qū)間,使

;如果沒有,請說明理由?(注:區(qū)間的長度為).

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案