【題目】已知橢圓E:()的離心率是,,分別為橢圓E的左右頂點(diǎn),B為上頂點(diǎn),的面積為2.直線l過點(diǎn)且與橢圓E交于P,Q兩點(diǎn)(P,Q異于,)
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求的面積最大值;
(3)設(shè)直線與直線的斜率分別為,,求證:為常數(shù),并求出這個(gè)常數(shù).
【答案】(1)(2)(3)證明見解析;
【解析】
(1)由離心率得,由三角形面積得,結(jié)合可求得得橢圓方程;
(2)設(shè)直線l:交橢圓于,,直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得,代入,然后可換元:設(shè)后用函數(shù)的單調(diào)性求得最值;
(3)計(jì)算,注意由(2)還可得,即,代入可得常數(shù).
解:(1)設(shè)橢圓的焦距為(),因?yàn)?/span>,
所以,,,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)設(shè)直線l:交橢圓于,,
聯(lián)立,化簡得,
由根與系數(shù)關(guān)系得
所以,
令,,故,
當(dāng),單調(diào)遞增,故時(shí),最大值為;
(3)證:因?yàn)?/span>,
由第(2)問知,即
將其代入上式
得為常數(shù),即證
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為原點(diǎn),以極軸為軸的正半軸,取相同的單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為 .
(1)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線,曲線上任一點(diǎn)為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為分別為左右焦點(diǎn),是橢圓上點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)過的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值以及此時(shí)的直線方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C的方程是:(,),則下列說法正確的是( )
A.當(dāng)時(shí),雙曲線的離心率為
B.過雙曲線C右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有且只有2條;
C.過雙曲線C右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線右支交于M,N兩點(diǎn),則此時(shí)線段長度有最小值;
D.雙曲線C與雙曲線:(,)漸近線相同.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線(,)的一條漸近線方程為,點(diǎn)在雙曲線上;拋物線()的焦點(diǎn)F與雙曲線的右焦點(diǎn)重合.
(1)求雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過焦點(diǎn)F作一條直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),當(dāng)直線l的斜率為時(shí),求線段的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,是函數(shù)(其中常數(shù))圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn),若的最小值為0,則函數(shù)的最大值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)Pn(an,bn)滿足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N*),且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1,-1).
(1)求過點(diǎn)P1,P2的直線l的方程;
(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明:對于n∈N*,點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講
在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線過點(diǎn)與曲線交于不同兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,與的交點(diǎn)為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解高二年級學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績的分布情況,從該年級的1120名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,發(fā)現(xiàn)都在內(nèi)現(xiàn)將這100名學(xué)生的成績按照,,,,,,分組后,得到的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法正確的是
A. 頻率分布直方圖中a的值為
B. 樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為
C. 總體的中位數(shù)保留1位小數(shù)估計(jì)為分
D. 總體分布在的頻數(shù)一定與總體分布在的頻數(shù)相等
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