解:(1)設(shè)P(x,y),M(a,0),∵
,
∴PM∥y軸,
∴點P在直線x=a上.
又
,
,
∴PH⊥FM,點P在線段FM的垂直平分線上,由拋物線定義,動點P的軌跡是以F為焦點,直線y=-1為準線的拋物線,
∴動點P 軌跡方程是x
2=4y;
(2) 設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),AB的方程:y=kx+3,把它代入x
2=4y,得
x
2-4kx-12=0,
x
1+x
2=4k,x
1x
2=-12,
y
1+y
2=4k
2-6,y
1y
2=9.
設(shè)AB在x軸的射影是A
1B
1,
=(x
1,y
1-1)•(x
2,y
2-1)=x
1x
2+y
1y
2-(y
1+y
2)+1
|
|•|
|=|FA
1|•|FB
1|=(y
1+1)•(y
2+1)=y
1y
2+(y
1+y
2)+1,
∴cosθ=
=
≤cos
≤-
,解得|k|≥1+
∴k∈(-∞,-1-
]∪[1+
,+∞)
分析:(1)根據(jù)且
,點P在直線x=a上,由拋物線定義,動點P的軌跡是以F為焦點,直線y=-1為準線的拋物線,求出動點P 軌跡方程;(Ⅱ)直線與拋物線相交,聯(lián)立方程,利用偉大定理,尋找向量
夾角為θ的余弦值,求出直線m斜率的取值范圍.
點評:考查平面向量與解析幾何的結(jié)合,體現(xiàn)了向量的工具性,考查了拋物線的定義和直線與拋物線的位置關(guān)系,在求解過程中,韋達定理的應(yīng)用體現(xiàn)了方程的思想,和整體代換的思想方法,屬中檔題.